Josef Kaplický se narodil 19. března 1899 ve Vysokém Mýtě. V roce 1921 ukončil studium na Uměleckoprůmyslové škole a pokračoval na Akademii výtvarných umění. Byl členem Spolku výtvarných umělců Mánes a Umělecké besedy. Po Druhé světové válce vyučoval na Vysoké škole uměleckoprůmyslové.

V architektonické tvorbě se Kaplický proslavil svými vitrážemi, nástěnnými malbami a návrhy gobelínů. Věnoval se také sochařství, nábytkovému designu a navrhování zahradních kompozic. Mezi jeho známá díla patří dekorativní panó pro Československý výstavní pavilón ve Philadelphii, okna kostela ve Vršovicích, záložny v Českých Budějovicích a ředitelství drah v Hradci Králové; mramorové reliéfy Řeky ve dvoraně Zemské banky, památník obětem války ve smíchovském pivovaru a v bývalém Svazu nakladatelů.

Josef Kaplický zemřel 1. února 1962 v Praze.